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Epreuve Orale 5817

Informations de classement de l'épreuve

Année : 2019

Filière : PC

Concours : CCINP (ou CCP)

Matière(s) concernée(s) : Mathématiques

Type(s) de sujet(s) : Exercice

Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : Endomorphisme de polynômes - Séries numériques

Détails sur l'épreuve Sources

Exercice 1

Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite à termes strictement positifs.
On pose $S_n=\sum_{k=0}^nu_k,\;v_n=\frac{u_n}{S_{n}},\;w_n=\frac{u_n}{(S_{n})^a}$, avec $a\in\mathbb{R}$.

1) On suppose dans cette question que : $\forall n\in\mathbb{N},\;u_n=1$. Donner la nature de $\sum u_n,\;\sum v_n,\;\sum w_n$.
2) On suppose que la série $\sum u_n$ converge.
a)Que peut-on dire de la suite $(S_n)_{n\in\mathbb{N}}$?
b) Donner un équivalent de $v_n$ et $w_n$. En déduire la nature de $\sum v_n$ et $\sum w_n$.
3)On suppose que la série $\sum u_n$ diverge et $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=0$.
a) Montrer que $v_n\sim\ln(S_n)-\ln(S_{n-1})$. En déduire la nature de $\sum v_n$.
b) En déduire la nature de $\sum w_n$ quand $a\leq1$.
c) Si $a>1$, montrer que : $\forall n\in\mathbb{N}^*,\;w_n\leq\int_{S_{n-1}}^{S_n}\frac{dt}{t^a}$.
d) En déduire la nature de $\sum w_n$ quand $a>1$.

Exercice 2

On pose $\varphi : \left\{\begin{array}{lll} \mathbb{R}_n[X]&\to&\mathbb{R}_n[X]\\P&\mapsto&P(X+1)+P(X)\end{array}\right..$

1) Montrer que $\varphi$ est un endomorphisme.
2) Soient $P\in\mathbb{R}_n[X]$ et $k\in\mathbb{N}$. Calculer $\varphi^k(P)$.



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