Énoncé(s) donné(s)
Exercice 1
Soit $z\in\mathbf{C}^*$. On pose $\displaystyle f(z)=z+\frac{1}{z}$.
1) Soit $n\in\mathbf{N}^*$. Montrer que $f(z^{n+1})=f(z)f(z^n)-f(z^{n-1})$.
2) Soit $n\in\mathbf{N}^*$. Montrer qu'il existe un polynôme $P_n$ de degré $n$ et de coefficient dominant un tel que :
$\forall z\in\mathbf{C}^*,\;f(z^n)=P_n(f(z)).$
On donnera une expression de $P_{n+1}$ en fonction de $P_n$ et $P_{n-1}$.
3) Soit $n\in\mathbf{N}^*$. Montrer que le seul polynôme $Q$ vérifiant : $\forall z\in\mathbf{C}^*,\;f(z^n)=Q(f(z))$
est $P_n$.
4) Soient $n\in\mathbf{N}^*$ et $k\in[\![0,n-1]\!]$. On pose $z_k=e^{\frac{i(2k+1)\pi}{2n}}$.
Calculer $f(z_k^n)$. Que peut-on en déduire? Donner une expression des $P_n$.
5)a) Montrer que $(P_n(0))_{n\in\mathbf{N}}$ est une suite récurrente linéaire d'ordre $2$.
b) En déduire le coefficient constant de $P_n$.
6) Calculer $\prod_{k=0}^{n-1}\cos\left(\frac{(2k+1)\pi}{2n}\right).$
7) Calculer $\sum_{k=0}^{n-1}\cos\left(\frac{(2k+1)\pi}{2n}\right).$
Exercice 2
Soit $A\in\mathcal{M}_n(\mathbf{R})$ tel que $M^n=0$.
1) Montrer que si $M$ est symétrique, alors $M=0$.
2) Montrer que si $M^tM=^tMM$, alors $M=0$.
3) Que faudrait-il pour que $M$ soit inversible, avec $M$ une matrice quelconque?
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
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