Énoncé(s) donné(s)
MAJEUR
Soit $F(x)=\int_{0}^{+\infty}\frac{\exp(-xt)}{1+t}dt$.
1/ Montrer que pour $x>0$, l'intégrale $F(x)$ converge.
2/ a/ Montrer que $F$ est positive et décroissante.
b/ Donner la limite en $+\infty$ de $F(x)$.
3/ Montrer que $F$ est $C^{1}$ sur $\mathbb{R}^{+*}.$
Calculer $F(x)-F'(x)$ et en donner une représentation simple en fonction
de $x$.
4/ Montrer que $F(x)$ peut se mettre sous la forme $\exp(x)\int_{x}^{+\infty}\frac{\exp(-t)}{t}dt$.
5/ a/ Donner la limite de $F(x)$ en $0$.
b/ Préciser l'équivalent en $0$.
MINEUR
On pose $u:\mathbb{R}[X]\longrightarrow\mathbb{R}[X],\,P\longrightarrow XP'+P$.
1/ Montrer que $u$ est un endomorphisme.
2/ En préciser les valeurs propres.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
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