Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

Premier exercice (préparé)
Soit E un $\mathbb{C}$ espace vectoriel de dimension finie (de dimension n). Soit u $\in \mathcal{L}(E)$
Montrer que u est diagonalisable si et seulement si tout sous-espace vectoriel de E admet un supplémentaire stable par u.


Deuxième exercice (non préparé)

$f(x) = \int_{0}^{1}{\frac{e^{-x^{2}(1+t^{2})}dt}{1+t^{2}}} $ et $ g(x)= \int_{0}^{x}{e^{-t^{2}}dt} $

1) Montrer que f et g sont $ \mathcal{C}^{1} $ sur $\mathbb{R}$

2) Calculer $f + g^{2}$

3) Trouver la valeur de $\int_{0}^{+\infty}{e^{-t^{2}}dt}$

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Correction :

Premier exercice :

Implication : Soit F un sous-espace vectoriel de E, de base $(x_{1}, ... , x_{p})$. u est diagonalisable si et seulement si il existe une base de vecteurs propres $(y_{1}, ... ,y_{n})$

On complète la base $(x_{1}, ... , x_{p})$ (en utilisant le théorème de la base incomplète avec la famille génératrice $(y_{1}, ... ,y_{n})$) en une nouvelle base de E.

Cette base est $(x_{1}, ... ,x_{p},y_{1}, ... ,y_{n-p})$. (quitte à réordonner les vecteurs, on les classe dans cet ordre)

Et on a $G=Vect(y_{1}, ... ,y_{n-p})$ qui est supplémentaire de F stable par u (car $y_{i}$ vecteurs propres)

Réciproque (plus dur):

Méthode de l'examinateur (par l'absurde) :
On suppose u non diagonalisable. On a alors $ E_{\lambda i}$ en somme directe mais $ E_{\lambda 1} \bigoplus ... \bigoplus E_{\lambda k} \neq E $ ($(\lambda_{i})_{1 \leq i \leq k} $ sont les valeurs propres)



Deuxième exercice :

1) Montrer que f est continue est classique, on pose $h(x,t)= \frac{e^{-x^{2}(1+t^{2})}}{1+t^{2}}$

$h(. ,t)$ est continue sur $\mathbb{R} $ ; $h(x,.)$ est continue sur $[0,1]$ et $\lvert h(x,t) \rvert \leq \frac{1}{1 + t^{2}}$ (fonction intégrable indépendante de x).

Puis $ \frac{\partial h(x,t)}{\partial x} = -2x.e^{-x^{2}(1+t^{2})} $ C'est pareil pour la continuité mais pour la majoration c'est plus subtil, il faut travailler sur $ [a,b] \subset \mathbb{R} $ et faire attention à bien majorer.

Pour dire que g est $ \mathcal{C}^{1} $ \begin{modo} Couic ! ce n'est pas un problème de majoration... \end{modo}

2) $f'(x) = \int_{0}^{1}{-2x.e^{-x^{2}(1+t^{2})}dt} $ (Première astuce, penser à travailler avec $f'$ puisque l'on vient de montrer son existence).

Deuxième astuce, penser à se ramener aux mêmes bornes d'intégration que $g$. Pour cela, il faut poser le changement de variable $ \mathcal{C}^{1} $ bijectif $ u=xt $.


$ \int_{0}^{1}{-2x.e^{-x^{2}(1+t^{2})}dt} = \int_{0}^{x}{-2x.e^{-x^{2}(1+(\frac{u}{x})^{2})}\frac{du}{x}}$
$ = \int_{0}^{x}{-2.e^{-(x^{2}+u^{2})}du} $
$ =-2.e^{-x^{2}}.\int_{0}^{x}{e^{-u^{2}}du} $
$ =-2.e^{-x^{2}}.g(x) $


Troisième et énorme astuce, $g'(x)=e^{-x^{2}}$
$ \Longrightarrow f'(x) + 2g'(x)g(x) = 0 $
$ \Longrightarrow f(x) + g^{2}(x) = K $
En évaluant en zéro, on obtient $ f(x) + g^{2}(x) = \frac{\pi}{4} $


3) Montrer que $ \lim \limits_{x \to +\infty} f(x) = 0$ par le théorème de convergence dominée, on a alors $\int_{0}^{+\infty}{e^{-t^{2}}dt} = \frac{\sqrt{\pi}}{2} $


Commentaires divers

Fichiers joints

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