Énoncé(s) donné(s)
Exercice 1 :
Soit $n$ entier naturel non nul. Soit $A$ matrice carrée réelle de taille $n$, telle que $A^3=A+I_{n}$.
Montrer que $\det(A) >0$.
Exercice 2 :
1) Soit $A$ matrice réelle symétrique. On dit que $A$ est définie positive si toutes ses valeurs propres sont strictement positives.
Montrer que $A$ est définie positive si et seulement si pour tout $X \in \mathbb{R}^n$, ${}^t\!X AX > 0$
2) Soit p un entier naturel.
On note $A_{p} = [a_{ij}]_{1 \leq i,j\leq p}$, matrice carrée symétriquede taille $p$ extraite de A.
Montrer que si $A$ est définie positive, alors $\det(A_{p}) > 0$.
Exercice 3 :
Montrer que pour tout $x \in [-1,1]$, $\arctan(x) = \displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n x^{2n + 1}}{2n + 1}$.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuveExercice 1 :
Faire une étude de fonction sur le polynôme annulateur précédemment mis en évidence.
Exercice 2 :
Pour la question 2), exploiter la 1).
Commentaires divers
L'exercice 2) contenait des questions supplémentaires. Pour l'exercice 3), les extrémités du segment sont bien fermées (à montrer).
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