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Epreuve Orale 5802

Informations de classement de l'épreuve

Année : 2019

Filière : PC

Concours : X-ESPCI (PC)

Matière(s) concernée(s) : Mathématiques

Type(s) de sujet(s) : Exercice

Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : Equation différentielle - Equation fonctionnelle

Détails sur l'épreuve Sources

Énoncé(s) donné(s)

Trouver l'ensemble des fonctions $(f,g)\in \mathcal{C}^{0}(\mathbb{R}_{+},\mathbb{R})^{2}$ telles que $f(xt)=f(x)g(t) $ pour tout $(x,t)\in (\mathbb{R}_{+}^{*})^{2} $.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Pistes abordées pendant l'oral, suggérées par l'examinateur ou moi-même :

1) Solutions évidentes
2) Evaluer en des valeurs pertinentes
3) Se ramener à une équation dépendant que d'une seule fonction (en $f$)
4) Montrer que $f$ est $\mathcal{C}^{\infty}$
5) Trouver une équation différentielle en $f$
6) Se ramener à une équation différentielle du premier ordre
7) Finir l'exercice en raisonnant par condition nécessaire puis suffisante sur la détermination de $f$ et $g$


Correction : 

1) Si $f$ est la fonction nulle , toute fonction $g$ est solution.
Si $f$ est linéaire, $g$ est l'identité.
Si $f$ est constante, $g$ est constante égale à 1. 

2) $f(t)=f(1).g(t)$ ; $f(x)=f(x).g(1)$ ; ($f$ n'est pas la fonction nulle implique $g(1)=1$, ce que l'on suppose désormais). 

$f(0)=f(x).g(0)$ ; si $g(0)\neq0,$ $f(x)=\frac{f(0)}{g(0)}$

$f(0)=f(0).g(t)$ ; si $f(0)\neq0$, $g(t)=1$ 

3) $f(xt)=f(x).g(t)$ et $f(t)=f(1).g(t)$ (On suppose $f(1)\neq0$, et on pose $\alpha=f(1))$ 

On a alors : $f(xt)=\frac{f(x)f(t)}{\alpha}$ 

4) J'avais essayé de me ramener à la limite d'un taux d'accroissement pour montrer que $f$ est dérivable mais je n'avais pas réussi. L'astuce est de primitiver $f$ pour montrer qu'elle est $\mathcal{C}^{1}$ puis $\mathcal{C}^{\infty}$. 

$\int_{0}^{A}{f(xt)dt}=\int_{0}^{A}{\frac{f(x)f(t)}{\alpha}dt}$ 

Puis on réalise le changement de variable $\mathcal{C}^{1}$, on pose $u=xt$, $du=xdt$ : 

$\int_{0}^{Ax}{\frac{f(u)du}{x}} = \frac{f(x)}{\alpha} [F(A)-F(0)]$ ($F$ primitive de $f$, donc $F$ est $\mathcal{C}^{1}$) 

$\frac{1}{x}[F(Ax)-F(0)]=\frac{f(x)}{\alpha}[F(A)-F(0)]$ $(F(0)=0)$ 

$\frac{F(Ax)}{x}=\frac{f(x)F(A)}{\alpha}$ $\Longrightarrow$

$ f(x)=\frac{\alpha F(Ax)}{xF(A)}$ (On suppose $F(A)\neq0$) 

On en déduit que $f$ est égale à une fonction $\mathcal{C}^{1}$, puis $F$ est $\mathcal{C}^{2}$... 

5) $f(xt)=\frac{f(x)f(t)}{\alpha}$ $\Longrightarrow$ $tf'(xt)=\frac{f(t)f'(x)}{\alpha}$ 

6) Il faut alors avoir l'idée d'évaluer en x=1, ce qui donne : 

$tf'(t)=\frac{f(t)f'(1)}{\alpha}$ $\Longrightarrow$ (H): $ f'(t)-\frac{f'(1)f(t)}{f(1)t} =0$ 

$f_{H}(t)=Ct^{\frac{f'(1)}{f(1)}}$ ($C\in\mathbb{R})$(s'il existe des solutions $f$, alors elles sont de cette forme) 

Puis on trouve $C=f(1)$ en injectant $f_{H}$ dans (H), on obtient alors $f=f(1)t^{\frac{f'(1)}{f(1)}}$ 

7) Il reste encore à étudier $g$.
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