Énoncé(s) donné(s)Trouver l'ensemble des fonctions $(f,g)\in \mathcal{C}^{0}(\mathbb{R}_{+},\mathbb{R})^{2}$ telles que $f(xt)=f(x)g(t) $ pour tout $(x,t)\in (\mathbb{R}_{+}^{*})^{2} $.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Pistes abordées pendant l'oral, suggérées par l'examinateur ou moi-même :
1) Solutions évidentes
2) Evaluer en des valeurs pertinentes
3) Se ramener à une équation dépendant que d'une seule fonction (en $f$)
4) Montrer que $f$ est $\mathcal{C}^{\infty}$
5) Trouver une équation différentielle en $f$
6) Se ramener à une équation différentielle du premier ordre
7) Finir l'exercice en raisonnant par condition nécessaire puis suffisante sur la détermination de $f$ et $g$
Correction :
1) Si $f$ est la fonction nulle , toute fonction $g$ est solution.
Si $f$ est linéaire, $g$ est l'identité.
Si $f$ est constante, $g$ est constante égale à 1.
2) $f(t)=f(1).g(t)$ ; $f(x)=f(x).g(1)$ ; ($f$ n'est pas la fonction nulle implique $g(1)=1$, ce que l'on suppose désormais).
$f(0)=f(x).g(0)$ ; si $g(0)\neq0,$ $f(x)=\frac{f(0)}{g(0)}$
$f(0)=f(0).g(t)$ ; si $f(0)\neq0$, $g(t)=1$
3) $f(xt)=f(x).g(t)$ et $f(t)=f(1).g(t)$ (On suppose $f(1)\neq0$, et on pose $\alpha=f(1))$
On a alors : $f(xt)=\frac{f(x)f(t)}{\alpha}$
4) J'avais essayé de me ramener à la limite d'un taux d'accroissement pour montrer que $f$ est dérivable mais je n'avais pas réussi. L'astuce est de primitiver $f$ pour montrer qu'elle est $\mathcal{C}^{1}$ puis $\mathcal{C}^{\infty}$.
$\int_{0}^{A}{f(xt)dt}=\int_{0}^{A}{\frac{f(x)f(t)}{\alpha}dt}$
Puis on réalise le changement de variable $\mathcal{C}^{1}$, on pose $u=xt$, $du=xdt$ :
$\int_{0}^{Ax}{\frac{f(u)du}{x}} = \frac{f(x)}{\alpha} [F(A)-F(0)]$ ($F$ primitive de $f$, donc $F$ est $\mathcal{C}^{1}$)
$\frac{1}{x}[F(Ax)-F(0)]=\frac{f(x)}{\alpha}[F(A)-F(0)]$ $(F(0)=0)$
$\frac{F(Ax)}{x}=\frac{f(x)F(A)}{\alpha}$ $\Longrightarrow$
$ f(x)=\frac{\alpha F(Ax)}{xF(A)}$ (On suppose $F(A)\neq0$)
On en déduit que $f$ est égale à une fonction $\mathcal{C}^{1}$, puis $F$ est $\mathcal{C}^{2}$...
5) $f(xt)=\frac{f(x)f(t)}{\alpha}$ $\Longrightarrow$ $tf'(xt)=\frac{f(t)f'(x)}{\alpha}$
6) Il faut alors avoir l'idée d'évaluer en x=1, ce qui donne :
$tf'(t)=\frac{f(t)f'(1)}{\alpha}$ $\Longrightarrow$ (H): $ f'(t)-\frac{f'(1)f(t)}{f(1)t} =0$
$f_{H}(t)=Ct^{\frac{f'(1)}{f(1)}}$ ($C\in\mathbb{R})$(s'il existe des solutions $f$, alors elles sont de cette forme)
Puis on trouve $C=f(1)$ en injectant $f_{H}$ dans (H), on obtient alors $f=f(1)t^{\frac{f'(1)}{f(1)}}$
7) Il reste encore à étudier $g$.
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