Énoncé(s) donné(s)
Soit $A \in M_n({\mathbb{K}})$. On dit que $A$ est unipotente si $A-I_n$ est nilpotente; c'est-à-dire si il existe $k>0$ tel que $(A-I_n)^k=0$.
1) a) Soit $A \in M_n({\mathbb{K}})$. Montrer que $A$ est unipotente si et seulement si $A$ est semblable à une matrice triangulaire supérieure dont tous les coefficients sont égaux à 1.
b) Soit $G$ un sous-groupe monogène de $GL_n({\mathbb{C}})$, admettant une matrice unipotente $A$ comme générateur.
Montrer qu'il existe $P \in GL_n({\mathbb{C}})$ tel que $\forall M \in G$, $P^{-1}MP$ soit égal à une matrice triangulaire supérieure dont tous les coefficients diagonaux sont égaux à 1.
2) Soit $G$ un sous-groupe commutatif de $GL_n({\mathbb{C}})$ composé d'éléments unipotents.
Montrer qu'il existe $X \in M_{n,1}({\mathbb{C}})^*$ tel que $\forall M \in G$, $MX=X$.
3) Question non abordée.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Commentaires divers
C'était l'épreuve Maths 1, donc sans préparation
Ajout du modérateur : la dernière question devait être : En déduire qu'il existe $P\in GL_n(\mathbb C)$ tel que $\forall M\in G,\, P^{-1}MP$ soit égal à une matrice triangulaire supérieure dont tous les coefficients diagonaux sont égaux à 1.
