Énoncé donné
On définit, pour un entier naturel $n$ supérieur ou égal à 3, la matrice $A_n = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 3 & \ldots & n \\ 1 & 0 & 3 & \ldots & n \\1 & 2 & 0 & & n\\ \vdots & \vdots & & \ddots & \\ 1 & 2 & 3 & & 0 \end{pmatrix}$ et la fonction $f_n : x \mapsto \displaystyle \sum _{k=1}^n\dfrac{k}{k+x} -1$.
1. PYTHON
(a) Tracer la courbe de $f_n$ pour $n$ entre 3 et 8.
(b) Valeur approchée de la solution de $f_n(x)=0$ sur $\mathbb{R}_+$.
(c) Créer une fonction qui renvoie $A_n$ en fonction de $n$.
(d) Calculer les valeurs propres de $A_n$ pour $n$ entre 3 et 8. Conjecture ?
2. ORAL
Montrer la conjecture précédente.
3. La matrice $A_n$ est-elle diagonalisable ?
4. Montrer qu'elle admet une unique valeur propre strictement supérieure à $-1$. Puis que cette dernière est supérieure à $n$.
Commentaires divers
Toute la partie python était largement faisable dans le temps de préparation. Examinateur très sympathique qui m'a proposé de gagner un point si j'arrivais à effacer correctement le mur (car à CS on écrit sur les murs...).
Aucun commentaire posté pour le moment