Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Année : 2019

Filière : PSI

Concours : CCINP (ou CCP)

Matière(s) concernée(s) : Mathématiques

Type(s) de sujet(s) : Exercice

Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : Intégrales à paramètres - Réduction

Énoncé(s) donné(s)

Exercice 1

Soit $A \in M_n(\mathbb{R}$ et $B=\begin{pmatrix}A&A\\0_n&0_n\end{pmatrix}$.

Diagonaliser $\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}$.
On revient au cas général. On suppose que $A$ est diagonalisable. Montrer que $B$ est aussi diagonalisable. Quelles sont ses valeurs propres ?

Exercice 2

Pour $n \in \mathbb{N}^\ast$ et $x \in \mathbb{R}$, on pose $I_n(x)=\displaystyle \int_0^x\dfrac{\text{d}t}{\text{ch}^n t}$.

Montrer que $I_n$ est bien définie.
Montrer que la suite $(I_n)$ converge simplement sur $\mathbb{R}$. La convergence est-elle uniforme ?
a. Trouver la relation de récurrence entre $I_n$ et $I_{n+2}$.

b. Utiliser cette relation pour calculer $I=\displaystyle \int _0^{\ln 2}\dfrac{\text{sh} ^2 t}{\text{ch} ^3 t}\,\text{d}t$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers

Fichiers joints

Epreuve Orale 5783