Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie $n \geqslant 1$, et $u$ un endomorphisme de $E$ de spectre $\{1,2, \ldots, n\}$.
Soit $v$ un endomorphisme commutant avec $u$. Montrer que $v$ est diagonalisable.
Déterminer les endomorphismes commutant avec $u$.
Exercice 2
Soit $f : x \in [0,1] \mapsto \dfrac 32 x - x^3$ et une suite $(u_n)$ vérifiant, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=\dfrac 32 u_n -u_n^3$.
Avec Python, conjecturer le comportement de $(u_n)$ en fonction de $u_0 \in [0,1]$. Représenter la courbe représentative de $f$ et la droite $y=x$ sur un même schéma, ainsi que $n \mapsto u_n$ pour différentes valeurs de $u_0$.
Pour $u_0 \in ]0,\frac{1}{\sqrt{2}}[$, démontrer la conjecture de la première question.
Factoriser $X^3-\frac 32 X+\frac{1}{\sqrt{2}}$.
Montrer $\frac{1}{\sqrt{2}} -u_{n+1} \thicksim \frac{3}{\sqrt{2}}\left(u_n -\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2$ quand $n \to +\infty$.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Aucun commentaire posté pour le moment