Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Exercice 1

On considère la fonction $\Gamma : x \mapsto \displaystyle \int _0^{+\infty} t^{x-1}e ^{-t}\,\text{d}t$, avec $x \in \mathbb{R}$.

1. Domaine de définition ?

2. Montrer que $\Gamma $ est continue sur $\mathbb{R}_+^\ast$.

3. Montrer que $\forall x >0, \quad \Gamma (x+1)=x\Gamma (x)$.

Exercice 2 (Urnes de Ehrenfest)

On considère deux urnes A et B. À l'instant initial l'urne A contient $p$ particules et B est vide. À chaque instant (discrétisé) une particule choisie aléatoirement passe d'une urne à l'autre. Soit $T$ une variable aléatoire modélisant le premier instant auquel on revient à l'état initial.

1. Montrer que l'on ne peut revenir à l'état initial que pour des instants pairs. (On pourra montrer que le nombre de particules dans l'urne B est de la même parité que le numéro de l'instant.)

    Calculer $P(T=2)$, $P(T=4)$.

2. On modélise l'état des particules à un instant donné par une liste L de longueur $p$ où chaque élément vaut 1 si la particule correspondante est dans A, 0 si elle est dans B.

    Écrire une fonction Python ehrenfest(L) qui modélise le passage de l'instant $n$ à l'instant $n+1$. On pourra utiliser la fonction randint(p) importée du module random.

3. Écrire une fonction Python experience(p) qui modélise l'expérience avec $p$ particules et renvoie le premier instant où on retrouve l'état initial (cad la valeur de $T$.

4. Écrire une fonction Python moyenneT(n,p) renvoyant la valeur moyenne de $T$ pour $n$ expériences avec $p$ particules.

    Tracer la courbe de la valeur moyenne de $T$ en fonction de $p$.

    Quelle conjecture faire sur la limite de $T$ quand $p \to +\infty$ ?

5. Quel phénomène thermodynamique est modélisé par cette expérience ?