Soit $A \in M_3(\mathbb{R})$, vérifiant $A^2 \not= 0_3$ et $A^3 = 0_3$. Montrer que $A$ est semblable à $A'=\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}$.
Exercice 2
Soit $f : x \in \mathbb{R}_+ \mapsto x^2-2$.
L'objectif est de calculer une valeur approchée de $\sqrt{2}$.
Montrer qu'il existe un unique $a \in \mathbb{R}_+$ tel que $f(a)=0$.
Avec Python, calculer $a$ avec la méthode de Newton, en détaillant cette méthode.
Montrer que cette méthode conduit à une suite $(x_n)$ vérifiant, pour tout $n$, $x_{n+1}=\dfrac{x_n^2+2}{2x_n}$. Dans la suite, on prendra $x_0=1$.
Montrer que cette suite est bien définie et que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $x_n \geqslant 1$.
Montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $\vert x_n -\sqrt{2}\vert \leqslant \dfrac{1}{2^{2^n}}$.
Définir le nombre de décimales exactes qu'on peut obtenir en évaluant $x_5$ puis $x_{10}$.
Modifier le programme afin de prendre en compte la variable $m$ pour obtenir une valeur approchée de $a$ à moins de $10^{-m}$ par la méthode de Newton.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
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