Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Échangeons, communiquons ...

Epreuve Orale 5770

Informations de classement de l'épreuve

Année : 2019

Filière : MP

Concours : Magistère

Matière(s) concernée(s) : Mathématiques

Type(s) de sujet(s) : Exercice

Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : Arithmétique - Développement décimal - Division euclidienne

Détails sur l'épreuve Sources

Énoncé(s) donné(s)
Soient $(a,b) \in \mathbb{N}^{2}$ tels que $a \wedge b = 1$ et $b \wedge 10 = 1$.
On définit les suites d'entiers $(d_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ et $(r_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ par division euclidienne de la manière suivante :

                $\begin{cases}a=b d_{0} + r_{0}, 0 \leqslant r_{0} < b\vphantom{\displaystyle\int}\\ \vphantom{\displaystyle\int}\forall n\geqslant 1,\ 10 r_{n-1}=bd_{n}+r_{n}\ \text{ avec }\ 0\leqslant r_{n} < b\ \text{ et }\ 0 \leqslant d_{n} \leqslant 9\end{cases}$
             
1) Montrer que $\displaystyle\frac{a}{b}=  \sum_{n=0}^{+\infty}d_{n}10^{-n}.$
2) Montrer que ce développement est ultimement périodique, c'est-à-dire qu'il existe $N \geqslant 1$ et $T\geqslant 1$ tels que $\forall n\geqslant N,\ d_{n+T}=d_{n}$.
    Que dire de $N$ et $T$ ?

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Pour la question 2, essayer sur des exemples permet de comprendre ce qui se passe.
Commentaires divers
Examinateur très sympathique.

Commentaires

Aucun commentaire posté pour le moment