Énoncé(s) donné(s)
Soient $(a,b) \in \mathbb{N}^{2}$ tels que $a \wedge b = 1$ et $b \wedge 10 = 1$.
On définit les suites d'entiers $(d_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ et $(r_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ par division euclidienne de la manière suivante :
$\begin{cases}a=b d_{0} + r_{0}, 0 \leqslant r_{0} < b\vphantom{\displaystyle\int}\\ \vphantom{\displaystyle\int}\forall n\geqslant 1,\ 10 r_{n-1}=bd_{n}+r_{n}\ \text{ avec }\ 0\leqslant r_{n} < b\ \text{ et }\ 0 \leqslant d_{n} \leqslant 9\end{cases}$
1) Montrer que $\displaystyle\frac{a}{b}= \sum_{n=0}^{+\infty}d_{n}10^{-n}.$
2) Montrer que ce développement est ultimement périodique, c'est-à-dire qu'il existe $N \geqslant 1$ et $T\geqslant 1$ tels que $\forall n\geqslant N,\ d_{n+T}=d_{n}$.
Que dire de $N$ et $T$ ?
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Pour la question 2, essayer sur des exemples permet de comprendre ce qui se passe.
Commentaires divers
Examinateur très sympathique.
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