Soit $g_n$ la fonction définie par $g_n(t)=\left(1-\dfrac tn\right)^n e^t$. Montrer que $\forall t \in [0,1],\quad \forall n \in \mathbb{N}^\ast, \quad |g'_n(t)|\leqslant \dfrac{e^t}{n}$ et $\left| \left(1-\dfrac tn\right)^n e^t -1\right| \leqslant \dfrac tn e^t$.
Montrer la convergence simple et la convergence uniforme de la suite $\left(I_n\right)$, où $I_n : x \in [0,1] \mapsto \displaystyle \int _ 0^x \left(1-\dfrac tn\right)^n e^t \, \text{d} t$.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
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