Énoncé(s) donné(s)
$\boxed{\textbf{ Exercice 1 }\vphantom f}\vphantom{\displaystyle\int}$
On pose : $\forall x>0,\ f(x)=\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty }\frac{\mathrm e^{-(2n+1)x}}{(2n+1)^2}.$
1. Montrer que $f$ est de classe $\mathcal C^\infty$ sur tout intervalle de la forme $[a,+\infty[,\ a>0.$
Calculer alors $f''(x)$ pour tout $x>0.$
2. Montrer que : $\forall x>0,\ f'(x)=-\displaystyle \int_{x}^{+\infty}f''(t)\,\mathrm dt.$
3. (
suite suggérée par le modérateur) En déduire l'expression de $f'(x)$ en fonction de $x$, puis de $f(x)$ comme intégrale sur $[x,+\infty[.$
$\boxed{\textbf{ Exercice 2 }\vphantom f}\vphantom{\displaystyle\int}$
On note $P_n$ l'ensemble des matrices carrées d'ordre $n$ à coefficients dans $\{0,1\}$, tel qu'il n'y ait qu'un seul coefficient non nul par ligne et par colonne.
Montrer que toute matrice de $P_n$ est diagonalisable sur $\mathbb C$.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Exercice 2 : On montrera que $P_n$ est un groupe fini.
Remarque du modérateur
Exercice 1 : On a $f''(x)=\dfrac{\mathrm e^{-x}}{1-\mathrm e^{-2x}}$, d'où (par le changement de variable $u=\mathrm e^{-t}$ dans l'inrégrale de la question 2, $f'(x)=-\dfrac 12\ln\left(\dfrac{1+\mathrm e^{-x}}{1-\mathrm e^{-x}}\right)$, puis $f(x)=\displaystyle\frac 12\int_x^{+\infty}\ln\left(\dfrac{1+\mathrm e^{-t}}{1-\mathrm e^{-t}}\right)\,\mathrm dt$ en remarquant que $f$ tend vers 0 en $+\infty$ par le théorème de la double limite ou plus simplement en se ramenant à la continuité d'une série entière en 0.
26/01/2021 à 01:45
16/06/2021 à 16:05