Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

1) Soit $X$ compact non vide de $\mathbb{R}^{d}.$

    On dit que $f:X\rightarrow \mathbb{R}$ est s.c.s (semi-continue supérieurement) si :

                  $\forall x \in X, \ \forall\varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0\  /\ \forall y \in X, \left \| y-x \right \|\leqslant \delta \Rightarrow f(y)< f(x)+\varepsilon.$

    Soit $a\in\mathbb{R}$ et $\left ( x_{n} \right )_{n}\in X^{\mathbb{N}}$ tels que $x_{n}\rightarrow x$ et $f(x_{n})\geqslant a$ pour tout $n \in \mathbb{N}.$

    Montrer que $f(x)\geqslant a.$

2) Soit $\widetilde{P}:\mathbb{R}^{d+1}\rightarrow \mathbb{R}^{d}.$

    $x=\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{d+1}\end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{d}\end{pmatrix}$

    et $P_{d+1}:x \mapsto x_{d+1}.$

    Soit $K$ un compact non vide de $\mathbb{R}^{d+1},\ X=\widetilde{P}(K).$

    Si $x \in X$, on pose $K_{x}=P_{d+1}(\widetilde{P}^{-1}(x)\cap K).$

    On suppose que $x \mapsto \sup K_{x}-\inf K_{x}$ est constante.

    Montrer que $x \mapsto \sup K_{x}$ est continue.