Énoncé(s) donné(s)$\boxed{\textbf{ Exercice 1 }\vphantom {f}}\vphantom{\displaystyle\int}$
(8 points)Exercice 75 de la banque CCPINP.
$\boxed{\textbf{ Exercice 2 }\vphantom {f}}\vphantom{\displaystyle\int}$ (12 points)
Soit $E$ un ensemble à $n$ éléments On note $a_{n}$ le nombre de bijections sans point fixe de $E$ dans $E$.
1) Démontrer que $ n!=\sum\limits_{k=0}^n \dbinom{n}{k} a_{n-k}$.
2) On pose $f(x) =\sum\limits_{n=0}^{+\infty} \frac{a_{n}}{n!}x^n$.
Démontrer que la série entière de définition de $f$ admet un rayon de convergence $R$ non nul.
3) Calculer $\mathrm e^x f(x)$.
4) Soit $n \in \mathbb{N}$, déterminer $a_n$.
5) Un professeur distribue aléatoirement des copies à ses élèves. On note $D_{n}$ l’événement "aucun des $n$ élèves n'a sa propre copie".
Calculer $\lim\limits_{n \rightarrow + \infty} P(D_n)$.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Question 1 : utiliser du dénombrement.
Commentaires divers
Question 2 : pas besoin de déterminer $R$.
Question 5 : l'examinateur m'a demandé pour conclure ce que je pensais du résultat obtenu.
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