Epreuve Orale 5755

Informations de classement de l'épreuve
Année : 
2019
Filière : 
MP
Concours : 
CCINP (ou CCP)
Matière(s) concernée(s) : 
Mathématiques
Type(s) de sujet(s) : 
Exercice
Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : 
Dénombrement, endomorphismes, Réduction des endomorphismes
Détails sur l'épreuve
Énoncé(s) donné(s)
Exercice 1 :
Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $E$ un ensemble possédant $n$ éléments.On désigne par $P(E)$ l'ensemble des parties de $E$.
1. Déterminer le nombre $a$ de couples $(A,B) \in (P(E))^2$ tels que $A \subset B$.

2. Déterminer le nombre $b$ de couples $(A,B) \in (P(E))^2$ tels que $A \cap B = \varnothing$.

3. Déterminer le nombre $c$ de triplets $(A,B,C) \in (P(E))^3$ tels que $A,B$ et $C$ soient deux à deux disjoints et $A\cup B \cup C = E$.

Exercice 2 :
Soit $F$ une application de $\mathbb{R}_{n-1}[X]$ dans lui-même telle que $F(P)=P + \frac{1-X}{n}\cdot P'$.

1. Vérifier $F$ stabilise $\mathbb{R}_{n-1}[X]$

2. On admet que $F$ est linéaire. Donner la matrice représentative de $F$ dans la base canonique. Est-elle diagonalisable ?

3. Déterminer une base de l'espace propre associé à la valeur propre $1$.

4. Supposons $\lambda$ une valeur propre de $F$ associée au vecteur propre $P$ telle que $\lambda \neq 1$. Montrer que $1$ est racine de $P$ et donner sa multiplicité.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers
l'exercice 2 n'est pas complet car je n'ai pas pu le traiter jusqu'au bout. Je n'ai donc pas pu mémoriser la question. (il en manque une seule)
Qualité de ce compte-rendu
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