Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $E$ un ensemble possédant $n$ éléments.On désigne par $P(E)$ l'ensemble des parties de $E$.
1. Déterminer le nombre $a$ de couples $(A,B) \in (P(E))^2$ tels que $A \subset B$.
2. Déterminer le nombre $b$ de couples $(A,B) \in (P(E))^2$ tels que $A \cap B = \varnothing$.
3. Déterminer le nombre $c$ de triplets $(A,B,C) \in (P(E))^3$ tels que $A,B$ et $C$ soient deux à deux disjoints et $A\cup B \cup C = E$.
Exercice 2 :
Soit $F$ une application de $\mathbb{R}_{n-1}[X]$ dans lui-même telle que $F(P)=P + \frac{1-X}{n}\cdot P'$.
1. Vérifier $F$ stabilise $\mathbb{R}_{n-1}[X]$
2. On admet que $F$ est linéaire. Donner la matrice représentative de $F$ dans la base canonique. Est-elle diagonalisable ?
3. Déterminer une base de l'espace propre associé à la valeur propre $1$.
4. Supposons $\lambda$ une valeur propre de $F$ associée au vecteur propre $P$ telle que $\lambda \neq 1$. Montrer que $1$ est racine de $P$ et donner sa multiplicité.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuveCommentaires divers
l'exercice 2 n'est pas complet car je n'ai pas pu le traiter jusqu'au bout. Je n'ai donc pas pu mémoriser la question. (il en manque une seule)
