Énoncé(s) donné(s)Exercice banque n°108 (proba)
Exercice 2:
Soit $ E $ un espace préhilbertien réel muni de son produit scalaire $ \langle .,.\rangle $. On note $ \|\ .\| $ la norme associée.
On dit qu'une suite $ \left( x_{n} \right) $ converge fortement vers x si $ \lim_{n \to \infty} \| x_{n} - x \| = 0 $
$ \left( x_{n} \right) $ converge faiblement vers $x$ si $\forall y\in E, ~\lim_{n \to \infty} \langle x_{n}-x,y\rangle = 0 $
1) a) Montrer que si $ \left( x_{n} \right) $ converge faiblement, sa limite est unique.
b) Montrer que convergence forte implique convergence faible
2) Montrer que $ \left( x_{n} \right) $ converge fortement vers $x$ $ \iff $ $ \left( x_{n} \right) $ converge faiblement vers $x$ et $\lim_{n \to \infty} \| x_{n}\| = \|x\|$
3) Montrer que, en dimension finie, ces deux modes de convergence sont équivalents.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Aucune indication car j'ai pu tout faire dans les temps
Commentaires divers
Remarque évidente mais penser à au moins mentionner l'existence d'une espérance avant de passer au calcul.
Aucun commentaire posté pour le moment