Énoncé(s) donné(s)
On pose $\mathbb{F}_p=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ avec $p$ premier et impair, $\mathcal{C}=\big\{x^2 \ / \ x\in\mathbb{F}_p\backslash\{\overline{0}\}\big\}$.
1)
a) Que dire de la structure algébrique de $\mathbb{F}_p$ et de $\mathcal{C}$ ?
b) Expliciter $\mathcal{C}$ pour $p=11$.
2) Soit $P$ un polynôme de degré strictement inférieur à $d$ et à coefficients entiers, avec $d\in\mathbb{N}^*$. Soient $a_1,\dots,a_d\in\mathbb{Z}$ tels que $\forall i\in [\![ 1,d ]\!] , \; p \mid P(a_i)$ avec les $a_i$ distincts modulo $p$. Montrer que $\forall n\in\mathbb{N}, \; p \mid P(n)$.
3) Montrer que $\mathcal{C} = \big\{ x\in\mathcal{F}_p \ / \ x^{\frac{p-1}{2}} = \overline{1} \big\}$.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
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