Énoncé(s) donné(s)
$v$ et $L$ sont deux entiers strictement positifs.
$\mathcal{E}_L = \big\{f\in\mathcal{C}^2([0,L],\mathbb{R}) \ / \ f(0)=f(L)=f''(0)=f''(L)=0 \big\}$
1. Soit $f\in\mathcal{E}_L$. Montrer qu'il existe un unique prolongement $\widetilde f$ de $f$ sur $\mathbb{R}$ qui soit une fonction impaire, $2L$-périodique et de classe $\mathcal{C}^2$ sur $\mathbb{R}$.
2. Écrire une fonction Python prenant en arguments L et $f$ et renvoyant $\widetilde f$. Tester sur $[-2L,2L]$ pour $L=1$ et $f(x) = x^3(1-x)^3$.
3. Soit $u\in\mathcal{C}^2(\mathbb{R}^2,\mathbb{R})$. Montrer que $ \left( \forall(x,t)\in \mathbb{R}^2, \ \dfrac{\partial^2 u}{\partial t^2}(x,t) = v^2 \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x,t) \right) \Longleftrightarrow \big( \exists A,B\in \mathcal{C}^2(\mathbb{R},\mathbb{R}), \ \forall(x,t)\in\mathbb{R}^2, \ u(x,t) = A(x+vt) + B(x-vt) \big) $.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Commentaires divers
Épreuve de mathématiques 2 avec utilisation de l'ordinateur (Python). L'énoncé est incomplet.
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