Énoncé(s) donné(s)
Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\mathbb{N}$ admettant un moment d'ordre 2.
1) Montrer que $\displaystyle {\rm E}(X) = \sum\limits_{j=1}^{+\infty} P(X\geq j)$.
Soit $(X_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ une suite de variables aléatoires indépendantes à valeurs dans $\mathbb{N}$ et suivant la même loi que $X$. On pose : $\forall n\in\mathbb{N}^*, \ M_n = \max\limits_{1\leq i\leq n}(X_i)$.
2) Exprimer $P(M_n\leq k)$ en fonction de $P(X\leq k)$.
3) On suppose que pour tout $i\in\mathbb{N}^*$, $X_i$ suit la loi uniforme sur $\mathbb{N}_k=[\![ 1,k]\!]$ avec $k>1$. Calculer ${\rm E}(M_n)$.
4) On suppose que $\forall i\in\mathbb{N}^*, \ X_i \sim \mathcal{G}(p)$ avec $p\in\left]0,1\right[$. On pose $q=1-p$.
a) Calculer ${\rm E}(M_n)$.
b) Trouver la loi de $m_n = \min\limits_{1\leq i\leq n} (X_i)$.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
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