Énoncé(s) donné(s)
1. Soit $f \in L(\mathbb R^4)$ tel qu’il existe $p \in \mathbb N$ vérifiant $ f^p=0$ et $f^{p-1} \not= 0$.
a) Montrer que $p \leqslant 4$.
On suppose à présent $ \dim(\text{Im(}f)) = 3$.
b) i) Montrer que $\text{rg}(f^2) = \text{rg}(f) – \dim(\ker(f) \cap \text{Im}(f))$.
ii) Montrer : pour $k \in [\![0, 4]\!]$, $\dim(\ker(f^k)) = k$ iii) Qu’en déduire sur $p$ ?
c) Non traitée.
2. On dispose de $n$ pièces, que l’on met dans $n$ boîtes, chacune dans une boite de manière équiprobable. Calculer la proportion en moyenne d’urnes ne contenant aucune pièce, pour $n$ « très grand ».
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
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