Pour $u=(a,b,c) \in \mathbb R ^3$, on pose $M_u=\begin{pmatrix}a&b&c\\c&a&b\\b&c&a\end{pmatrix}$.
Montrer que $M_u$ est combinaison linéaire de trois matrices indépendantes de $u$ et dont l'une est le carré d'une l'autre.
Écrire un programme qui renvoie $M_u$. Calculer $M_{7,-14,1}\times M_{1,2,3}$ et $M_{1,2,3}\times M_{7,-14,1}$.
Soit $M=\{M_u, \quad u \in \mathbb R ^3\}$. Quelle est la structure de $M$ ? Cet ensemble est-il stable par $\times$ ? La loi $\times$ est-elle commutative dans $M$ ?
Montrer que $M_u$ est semblable à $\begin{pmatrix} a+b+c & 0&0\\ 0&a-\frac 12(b+c)&-\frac{\sqrt{3}}{2}(b-c)\\0&\frac{\sqrt{3}}{2}(b-c)&a-\frac 12(b+c)\end{pmatrix}$.
Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que $M_u$ soit diagonalisable.
On pose $P_m=X^3-X^2+m$, avec $m \in \{-0,1 ; 0; 0,1 ; 0,2\}$ ; tracer les courbes des différents polynômes $P_m$ sur l'intervalle $[-1,\frac 32]$.
Trouver une C.N.S. sur $m$ pour que $P_m$ admette trois racines réelles.
Soit $S=\{(a,b,c) \in \mathbb R^3, \quad a^2+b^2+c^2=1\}$, $T=\{(a,b,c )\in \mathbb R^3, \quad a+b+c=1\}$ et $T'=\{(a,b,c )\in \mathbb R^3, \quad a+b+c=-1\}$. Montrer que $M_u$ est une matrice orthogonale si et seulement si $u \in S \cap (T \cup T')$.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
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