Énoncé(s) donné(s)
$$ A=\begin{pmatrix} 0&a&b&c\\ a&0&c&b\\ b&c&0&a\\ c&b&a&0 \end{pmatrix}\in\mathcal{M}_4(\mathbb{R}) \ ; \ (a,b,c)\in\mathbb{R}^3. $$
1. On cherche des vecteurs propres de la forme $\begin{pmatrix} 1 \\ \varepsilon_2 \\ \varepsilon_3 \\ \varepsilon_4 \end{pmatrix}$ avec $\forall i\in\{2;3;4\}, \; |\varepsilon_i|=1$ et $\varepsilon_2\varepsilon_3\varepsilon_4=1$.
Donner les éléments propres de $A$.
2. Que peut-on dire des sous-espaces propres de $A$ ?
3. Donner $\chi_A$.
4. Si $a=b=c=1$, donner $\pi_A$.
5. Si $a=1$, $b=2$ et $c=3$, donner $\pi_A$.
6. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $\deg(\pi_A)=4$.
7. Donner une condition sur $a$, $b$ et $c$ pour que $\deg(\pi_A)=3$.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Commentaires divers
Couplé avec l'exercice n°19 de la banque.
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