Énoncé(s) donné(s)
Montrer qu'existe un polynôme $P \in \mathbb{Z}[X]$ unitaire de degré 10 ayant 8 racines (au moins) dans $\mathbb{U}$, 2 (au moins) dans $\mathbb{R}_+^*$, vérifiant $P(0) = 1$ et irréductible dans $\mathbb{Q}[X]$.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Pour le 2, j'ai parlé de polynômes réciproques, il m'a demandé de montrer qu'un tel polynôme s'écrit sous la forme $X^5Q(X + \frac{1}{X})$ ou $deg Q = 5$ et $Q \in \mathbb{Z}$ (8 racines de $Q$ sont alors dans $]-2 ; 2[$, 2 dans $[2 ; +\infty[$), de montrer que si les racines (réelles) de $A$ et $B$ (polynômes à coefficients réels) sont enlacées et simples, c'est aussi le cas des racines de $A$ et $A + \lambda B$ (avec $\lambda$ réel) ; il voulait, avec $P_1 = \frac{X^{10} - 1}{X^2 - 1}$, $P_2 = P_1(X)(X^2 - 1)$ et $Q_1$, $Q_2$ leurs polynômes associés, montrer que l'ensemble des $\lambda \in \mathbb{N}$ tels que $Q_2 + \lambda Q_1$ ne soit pas irréductible est de densité nulle (les $P$ correspondants vérifiant toutes les conditions désirées, sauf éventuellement l'irréductibilité).
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