Epreuve Orale 5620

Informations de classement de l'épreuve
Année : 
2019
Filière : 
MP
Concours : 
Mines-Télécom (hors Mines-Ponts)
Matière(s) concernée(s) : 
Mathématiques
Type(s) de sujet(s) : 
Exercice, Question de cours
Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : 
Intégrale à paramètres, Algèbre linéaire, Réduction de matrice
Détails sur l'épreuve
Énoncé(s) donné(s)
Exercice 1 (n°61 interne) - traité en premier
On pose $F(x) = \int_{0}^{+\infty}\frac{e^{-xt}}{1+t^2}dt$.
1) Montrer que $F$ est de classe $\mathcal{C}^2$.
2) Montrer que $F$ est solution de l'équation différentielle $y'' + y = \frac{1}{x}$.
3) Monter que c'est la seule solution qui a une limite nulle en $+\infty$.
Exercice 2 (n°62 interne) - traité en second
Soit $A \in \mathscr{M}_n(\Bbb{R})$, telle que $A$ possède $n$ valeurs propres distinctes.
On pose $B = \begin{pmatrix} 0_n & I_n \\ A & 0_n \end{pmatrix}$
1) Quelles sont les valeurs propres de $B$.
2) (Non traité) Donner les conditions de diagonalisabilité de $B$.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Exercice 1 : N/A
Exercice 2 :
  • on peut poser $W$ un vecteur propre de $B$ tel que $W=\lambda \begin{pmatrix}U \\ \hline V \end{pmatrix}$
  • on a montré que $\lambda \in Sp(B) \implies \lambda^2 \in Sp(A)$, que peut-on en déduire ?
Commentaires divers
Examinateur agréable, très réactif à mes remarques (correction et confirmation). A15 minutes de présentation - avant d'entamer la troisième question du premier exercice - j'ai demandé à passer au deuxième exercice pensant être à court de temps, l'examinateur était surpris dans la mesure ou il s'agissait "seulement" de faire une convergence dominée.
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