Énoncé(s) donné(s)On considère $p$ un nombre premier impair et $m$ un entier non nul. On note $\left (\mathbb{Z}/m \mathbb{Z} \right )^{\times}$ le groupe des inversibles de $\mathbb{Z}/m \mathbb{Z}$.
1) Soit $G$ un groupe de cardinal $n$. Montrer qu'il est cyclique si et seulement s'il contient un élément d'ordre $n$.
2) Écrire en Python une fonction renvoyant le PGCD de deux nombres.
3) Écrire un script Python donnant l'ensemble des nombres engendrant $\left (\mathbb{Z}/n \mathbb{Z} \right )^{\times}$. Le tester pour $n$ variant de $1$ à $30$ (le résultat pour $n=25$ était donné).
4) Calculer le cardinal de $\left (\mathbb{Z}/p^{m} \mathbb{Z} \right )^{\times}$.
5) Soit $k \in \mathbb{N}$. Montrer que : $(p+1)^{p^{k}} \equiv 1 + p^{k+1} [p^{k+2}]$.
En déduire que $\left (\mathbb{Z}/p^{m} \mathbb{Z} \right )^{\times}$ possède un élément d'ordre $p^{m-1}$.
6) Soit $k \in \mathbb{Z}$. On note $\tilde{k}$ la classe d'équivalence de $k$ dans $\mathbb{Z}/p \mathbb{Z}$ et $\bar{k}$ celle dans $\mathbb{Z}/p^m \mathbb{Z}$.
On pose : $\begin{array}[t]{ccccc}
\pi & : &\left( \mathbb{Z}/p^m \mathbb{Z}\right)^{\times} & \to & \left(\mathbb{Z}/p \mathbb{Z}\right)^{\times}\\
& & \bar{k} & \mapsto & \tilde{k} \\
\end{array}$.
Démontrer que $\pi$ est bien définie et que c'est un morphisme surjectif de groupes.
(D'autres questions sur $\pi$ suivaient.)
Ajout du modérateur : Voir aussi la planche 5595
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve4) Déterminer le cardinal du complémentaire.
5) Procéder par récurrence.
Commentaires divers
De très loin l'examinateur le plus gentil que j'ai rencontré : très attentionné et doux. Il a commencé par jeter un regard à mes résultats Python, qui l'ont satisfait puis l'on a fait la partie de mathématiques.
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