Énoncé(s) donné(s)1. Enoncer le théorème de Rolle. Est-il encore valable pour une fonction à valeurs dans $\mathbb{C}$ ?
Soit $P \in \mathbb{R}[X]$ scindé. Montrer que $P'$ l'est aussi.
2. Soit $a_1,\dots,a_n,b_1,\dots,b_n$ des réels deux à deux distincts.
Soit $A=(a_i+b_j)_{i,j\in [\![1,n]\!]}$. On suppose que le produit des éléments d'une ligne est indépendant de la ligne. Montrer qu'il en est de même pour le produit des éléments d'une colonne.
3. Soit $P,Q \in \mathbb{R}[X]$ tels que $P$ et $Q$ ont les mêmes racines. On suppose qu'il existe $\alpha \in \mathbb{C}^*$ tel que $P+\alpha$ et $Q+\alpha$ ont les mêmes racines. Montrer que $P=Q$.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Commentaires divers
Les questions sont indépendantes.
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