Soit $\alpha \geqslant 0$ et $n \in \mathbb{N}$. On pose $I_{n,\alpha}=\int_{0}^{1}\frac{1}{{(1+t^{\alpha })}^n}dt$
1. On suppose $\alpha \geqslant 1$. Quelle est la nature de $\sum I_{n,\alpha}$ ?
2. On suppose $\alpha \in ]0,1[$.
a) A l'aide de Python, conjecturer un équivalent de $I_{n,\alpha}$ (regarder par exemple avec $\alpha = \frac{1}{2};\frac{1}{3};\frac{1}{4}$
b) Montrer que $I_{n,\alpha} \geqslant \frac{1}{e n^{\frac{1}{\alpha}}}$
c) Donner une condition nécessaire et suffisante sur $n$ pour que $I_{n,\alpha}=\int_{1}^{\infty}\frac{1}{{(1+t^{\alpha })}^n}dt$ existe.
3. On fixe un $\alpha$ qui convient, $\alpha \in ]0,1[$ et on pose $K_n=\int_{0}^{\infty}\frac{1}{{(1+t^{\alpha })}^n}dt$.
Montrer que $I_{n,\alpha} \sim K_n$ quand $n \rightarrow \infty$
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
1. Regarder en $\alpha=1$
2.b) Remarquer que $I_{n,\alpha} \geqslant \int_{0}^{n^{\frac{-1}{\alpha}}}\frac{1}{{(1+t^{\alpha })}^n}dt$
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