Énoncé(s) donné(s)
Première Partie :
Exercice 98 de la Banque CCP
Deuxième Partie :
Soit $E = \mathcal{C}^0([0;1],\mathbb{R}) $ et $f\in E$
Soit $$g : x \mapsto \int_0^1 inf(x,t) \, f(t) \, \mathrm dt $$
définie sur [0;1].
1) Montrer que $g$ est continue.
2) Soit $x \in [0;1]$. Tracer $t \mapsto inf(x,t)$ sur $[0;1]$ pour déduire une nouvelle expression de $g$.
3) Montrer que g est $\mathcal{C}^2$. Exprimer $g'(x) $ et $ g''(x) \, \forall x \in [0;1]$.
On pose :
$$u : f \mapsto \left( x \mapsto \int_0^1 inf(x,t) \, f(t) \, \mathrm dt \right) $$
définie de $E$ dans $E$.
4) a/ Montrer que u est linéaire.
b/ Montrer que u est injective.
c/ Est-elle surjective ?
5) Donner les vecteurs propres et valeurs propres de u.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Pour les questions 4) b/ et 4) c/ utiliser la question 3).
Commentaires divers
Ici, le tableau était à feutre.
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