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Epreuve Orale 5603

Informations de classement de l'épreuve

Année : 2019

Filière : MP

Concours : Centrale-Supélec

Matière(s) concernée(s) : Mathématiques

Type(s) de sujet(s) : Exercice

Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : Développement asymptotique - Groupe linéaire

Détails sur l'épreuve Sources

Énoncé(s) donné(s)
Maths 1 (sans préparation)
Ex 1 (sur une feuille distribuée)
Soit, pour $n \in \mathbb N$, $F_n$ le polynôme $X^n-nX+1$.
1) Montrer que, pour $n\geq 3$, il existe exactement deux racines de $F_n$ dans $\mathbb R_+^*$. On les note $x_n$ et $y_n$ avec $x_n<y_n$.
2) a) Montrer que $(x_n)$ est décroissante et montrer $x_n \sim \displaystyle \frac 1 n$.
2) b) Déterminer un équivalent de $x_n- \displaystyle \frac 1 n$.
3) a) Montrer que $(y_n)$ converge vers une limite $\ell$ à déterminer.
3) b) Déterminer un équivalent de $y_n-\ell$.

Exercice 2 (donné à l'oral)
Soit $n$ et $p$ deux entiers distincts. Existe-t'il un automorphisme de $GL_n(\mathbb K)$ dans 
$GL_p(\mathbb K)$ ?
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Ex 2 : trouver quelque chose que conserve un tel morphisme s'il existe.
Commentaires divers
Examinateur très sympathique, qui m'a expliqué la fin de la solution du deuxième exo à la fin, puis m'a expliqué que ça faisait une bon développement d'agrégation pour dans 3 ans...

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