Énoncé(s) donné(s)
1) Démontrer le lemme suivant :
Soit $n \in \mathbb{N}^{*}$, $N \in \mathbb{N}^{*}$, $(x_{i})_{i \in [\vert 1, N \vert]} \in (\mathbb{R}^{n})^{N}$. On considère $\displaystyle x = \sum_{i=1}^{N} \lambda_{i}x_{i}$ une combinaison convexe.
Montrer que l'on dispose de $(i_{j})_{j \in [\vert 1, n+1 \vert]} \in [\vert 1, N \vert]^{n+1}$ et $(\gamma_{j})_{j \in [\vert 1, n+1 \vert]} \in [0,1]^{n+1}$ tels que : $\displaystyle \sum_{j=1}^{n+1} \gamma_{j} = 1$ et $\displaystyle x = \sum_{j=1}^{n+1} \gamma_{j}x_{i_{j}}$.
2) Soit $f \in \mathcal{C}^{0}([0,1], \mathbb{R^{2}})$. Montrer que l'on dispose de $(\lambda_{i})_{i \in [\vert 1, 3 \vert]} \in [0,1]^{3}$ et $(x_{i})_{i \in [\vert 1, 3 \vert]} \in [0,1]^{3}$ tels que : $\displaystyle \sum_{i=1}^{3} \lambda_{i} = 1$ et $\displaystyle \int_{0}^{1}f = \sum_{i=1}^{3} \lambda_{i}f(x_{i})$.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
1) Distinguer les cas $N \leq n +1$ et $N>n+1$. On pourra procéder par récurrence. Utiliser des représentations graphiques.
Commentaires divers
L'oral s'est mal déroulé. Je n'ai que très mal compris le sujet que l'examinateur m'a dicté : j'ai croulé sous les notations (notamment n et N). Je me suis alors réfugié dans des calculs de somme improductifs car je ne comprenait pas le sens de l'exercice. Il aurait bienvenu de me fournir un sujet imprimé ou de formuler en français le lemme : "Démontrer que tout vecteur de l'enveloppe convexe de $N$ éléments de $\mathbb{R}^{n}$ est une combinaison convexe d'au plus $n+1$ de ces éléments.". J'ai heureusement réussi aisément la question 2. Examinateur gentil qui m'a pas mal aidé.
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