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Epreuve Orale 5595

Informations de classement de l'épreuve

Année : 2019

Filière : MP

Concours : Centrale-Supélec

Matière(s) concernée(s) : Mathématiques

Type(s) de sujet(s) : Exercice

Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : Algèbre générale - Programmation en Python

Détails sur l'épreuve Sources

Énoncé(s) donné(s)
$\boxed{\textbf{ Maths 2 }\vphantom{f}} \vphantom{\displaystyle\int }$
On considère $p$ nombre premier impair, $m$ entier impair, l'anneau $\mathbb Z/p\mathbb Z$ et $(\mathbb Z/p\mathbb Z)^*$ le groupe des inversibles de $\mathbb Z/p\mathbb Z$.
1) Soit $G$ un groupe de cardinal $n\in\mathbb N^*$. Montrer que $G$ est cyclique si et seulement s'il existe un élément de $G$ d'ordre $n.$
2) Programmer en $\tt Python$ une fonction qui renvoie le pgcd de 2 entiers.
3) Créer une fonction qui renvoie dans une liste les générateurs de $ (\mathbb Z/n\mathbb Z)^*. $ Afficher les résultats pour $n$ allant de 2 à 25.
4) Calculer le cardinal de $(\mathbb Z/p^m\mathbb Z)^*$
5) Soit $k \in \mathbb{N}$. Montrer que : $(p+1)^{p^{k}} \equiv 1 + p^{k+1} [p^{k+2}]$.
En déduire que $\left (\mathbb{Z}/p^{m} \mathbb{Z} \right )^*$ possède un élément d'ordre $p^{m-1}$.
6) Soit $k \in \mathbb{Z}$. On note $\tilde{k}$ la classe d'équivalence de $k$ dans $\mathbb{Z}/p \mathbb{Z}$ et $\bar{k}$ celle dans $\mathbb{Z}/p^m \mathbb{Z}$.
On pose : $\begin{array}[t]{ccccc}
\pi & : &\left( \mathbb{Z}/p^m \mathbb{Z}\right)^{*} & \to & \left(\mathbb{Z}/p \mathbb{Z}\right)^{*}\\
& & \bar{k} & \mapsto & \tilde{k} \\
\end{array}$.
Démontrer que $\pi$ est bien défini et que c'est un morphisme surjectif de groupes.
7) On admet que $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^*$ est cyclique. Montrer qu'il existe un élément d'ordre $p-1$ dans $(\mathbb Z/p^m\mathbb Z)^*$.
8) En déduire que $(\mathbb Z/p^m\mathbb Z)^*$ est cyclique.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Commentaires divers
Ajout du modérateur  : voir aussi la planche 5618

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