Déterminer la limite quand $n\to +\infty$ de la puissance $n$-ième de $\begin{pmatrix}\cos(1/n)&\sin(1/n)\\\sin(1/n)&\cos(1/n)\end{pmatrix}$.
Exercice 2
Sur $I=]-1,+\infty[$, on définit la fonction $S$ par
\[S(x)=\sum_{k=1}^\infty \left (\frac{1}{k}-\frac{1}{k+x}\right )\]
1. Montrer que $S$ est définie et continue sur $I$.
2. Monotonie de $S$~?
3. Calculer $S(x+1)-S(x)$.
4. Déterminer un équivalent de $S$ en $(-1)^+$.
5. Déterminer un équivalent de $S$ en $+\infty$.
6. Question bonus : comment calculer une primitive de $\sqrt{1+x^2}$~?
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Commentaires diversLa préparation se fait au tableau
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