Soit $(u_n) _{n \in \mathbb{N}^*} $ une suite de réels et on définit pour $n\geq 1$ : $ v_n=n(u_n-u_{n+1})$. On s'intéresse dans la suite aux conditions nécessaires et suffisantes pour que $(u_n)$ vérifie les deux propriétés suivantes :
$(P_1)$ : $\displaystyle \sum_{n\geq 1} v_n$ converge
$(P_2)$ : $u_n$ converge vers une limite réelle $u^*$ et $\displaystyle \sum_{n\geq 1}(u_n-u^*)$ converge
1) Exemple : Soit $\alpha \in \mathbb{R} _+^*$ et $u_n = \arctan(n^{\alpha})$. Déterminer les conditions nécessaires et suffisantes pour que $(u_n)$ vérifie $P_1$ et $P_2$.
2) Soit $(a_n)$ une suite de réels telle que $\displaystyle \sum_{n\geq 1} a_n$ converge. Montrer que $\displaystyle \sum_{n\geq 1} \frac{a_n} {n} $ converge et que $\displaystyle \sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac{a_k}{k}=o \bigg(\frac{1}{n}\bigg)$.
3) Montrer que $(P1) \implies (P2)$. Qu'en est-il de la réciproque ?
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
1) Commencer par $P_2$ et penser à la relation $\arctan(x) + \arctan(\frac{1}{x})=\frac{\pi}{2}$. Pour $P_1$, réutiliser la formule puis utiliser l'égalité des accroissements finis.
Au final on trouve une seule condition : $\alpha > 1$.
2) Ecrire $a_n$ en fonction de restes de sa série. J'ai ensuite volontairement utilisé une transformée d'Abel.
Commentaires divers
Examinateur neutre qui confirmait que mes. initiatives étaient bonnes mêmes sans aboutissement. Petit plaisir d'utiliser la transformation d'Abel...
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