Énoncé(s) donné(s)
Exercice 1
Soit $f :x \mapsto \displaystyle \int _0^{+\infty} \dfrac{1-\cos t}{t^2}e^{-xt}\,\text{d} t$.
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Montrer l'existence de $f$ sur $\mathbb{R}_+$.
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Montrer la continuité de $f$ sur $\mathbb{R}_+$.
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Montrer que $f$ est de classe $C^2$ sur $\mathbb R_+^\ast$.
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Donner la limite de $f$ et celle de $f'$ en $+\infty$.
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Calculer $f'(x)$ puis $f(x)$
Exercice 2
Soit $M \in \text{O}_n(\mathbb{R})$ telle que $\frac 13 (I_n+2M) \in \text{O}_n(\mathbb{R})$.
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Montrer que $\forall x \in \mathbb{R}^n, \quad (Mx|x) = ||x||^2$
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Conclure sur $M$.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve :
Pour la question 1, utiliser les exemples de Riemann.
Commentaires divers:
L'examinatrice était peu agréable, elle n'aidait absolument pas lorsque j'étais bloquée.
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