Énoncé(s) donné(s)
Le sujet portait sur le chauffage par induction. Une documentation était présente, et indiquait notamment que la puissance de chauffage pouvait être comprise entre 1 500 et 3000 W (environ) et que la plaque ne chauffe qu'en présence d'une casserole compatible, se refroidit très rapidement et ne brûle pas les mains, en disant qu'il y avait peu d' « inertie thermique ».
1) Pourquoi ne se brûle-t-on pas les mains lorsqu'on touche une plaque à induction ? Comment peut-on définir l'inertie thermique ? Donner un exemple.
On s'intéresse au fond de casserole considéré cylindrique de rayon $R$, d'épaisseur $e$, de conductivité $\gamma$ et de perméabilité magnétique $\mu = \mu_r \mu_0$. On suppose qu'on peut remplacer dans toutes les expressions $\mu_0$ par $\mu$. On suppose que la plaque à induction crée un champ magnétique uniforme sinusoïdal orienté selon l'axe de symétrie du cylindre $\overrightarrow{\mathcal{B}}(t) = \mathcal{B}_0 \cos(\omega t) \overrightarrow{e_z}$.
2) En utilisant l'équation de Maxwell-Faraday, calculer le champ $\overrightarrow{E}$ en tout point du cylindre. En déduire l'expression du vecteur densité de courant $\overrightarrow{j}$.
On néglige dans un premier temps les courants de Foucault induits et le champ magnétique propre.
3) Calculer la puissance dissipée moyenne. Faire l'application numérique : retrouve-t-on les données de l'énoncé ?
On ne néglige dorénavant plus le champ magnétique propre. On admet qu'une spire circulaire de centre $0$ de rayon $r$ traversée par un courant $i$ crée un champ magnétique en $O$ : $\overrightarrow{\mathcal{B}(O)} = \frac{\mu_r\mu_0 i}{2r} \overrightarrow{e_z}$.
4) En superposant plusieurs spires concentriques, calculer le champ magnétique propre du cylindre.
5) À qu'elle condition peut-on négliger le champ magnétique propre ? On pourra introduire l'épaisseur de peau $\displaystyle \delta = \sqrt{\frac{2}{\gamma \omega \mu_r\mu_0}}$. Cette condition est-elle réalisée ?
6) Calculer la puissance totale dissipée.
7) Connaissez-vous d'autres phénomènes d'effet de peau ?
On donnait quelques valeurs numériques :
$ \gamma = 5 \cdot 10^6 \ \mathrm{Sm}\cdot\mathrm{m}^{-1}, \ R = 10 \ \mathrm{cm}, \ e = 2 \ \mathrm{mm}, \ B_0 = 1 \cdot 10^{-5} \ \mathrm{T}, \ f = 50 \ \mathrm{kHz}, \ \mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7} \ \mathrm{USI}, \ \mu_r = 40 $
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Pour la question 4), on pourra raisonner de façon infinitésimale.
Commentaires divers
Il s'agit d'un oral de Physique II. La planche est complète, et était accompagnée d'un document sur la plaque à induction, dont l'essentiel est rappelé au début.
En question 6), l'examinateur m'a demandé si réellement la diffusion se faisait sur toute l'épaisseur de la plaque. Je me suis arrêté là, avant d'entamer le calcul.
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