Énoncé(s) donné(s)
Exercice 1 :
Soit $a\in\mathbb{R}^*$ et $\quad A=\begin{pmatrix} 1 & a & a^2 & a^3 & \ldots & &a^{n-1} \\ 0& 1 & a & a^2 & \ldots & &a^{n-2} \\ 0& 0 & 1 & a & \ldots & &a^{n-3 } \\ \vdots & & \ddots & \ddots & & & \vdots \\ \vdots & & & & & & \vdots \\ \vdots &&&&& & \vdots \\ 0 & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & 0 &1 \end{pmatrix}$.
Montrer que $A$ est inversible et calculer son inverse. \\
Exercice 2 : Soit $ \quad f : x\longmapsto \displaystyle\int_0^{+\infty} \dfrac{e^{-xt}}{\sqrt{t}} \; dt$
1) Montrer que $f$ est continue sur $\mathbb{R}_+^*$.
2) Montrer que $f$ est de classe $C^1$ sur $\mathbb{R}_+^*$.
3) Trouver une équation différentielle dont $f$ est solution.
4) En déduire la valeur de $f$ sachant que $\quad f(1)=\sqrt{\pi}$.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Commentaires divers
Le correcteur était sympathique, il me prévenait en cas d’erreur de calcul et me posait des questions (condition pour l’IPP par ex.). Il m’a beaucoup trop aidé à mon goût pour l’exercice 1 alors que je n’en ai pas particulièrement eu besoin. Il m’a demandé d’écrire peu de choses et les théorèmes de l’exercice 2 ont été appliqués à l’oral en énonçant les hypothèses et en les justifiant.
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