Epreuve Orale 5375

Informations de classement de l'épreuve
Année : 
2019
Filière : 
PSI
Concours : 
Banque Mines-Ponts
Matière(s) concernée(s) : 
Mathématiques
Type(s) de sujet(s) : 
Exercice
Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : 
Algèbre euclidien, Séries de fonctions
Détails sur l'épreuve
Énoncé(s) donné(s)
$\boxed{\textbf{ Exercice 1 }\vphantom{f}}\vphantom{\displaystyle\int}$ (avec préparation)
Soit $E$ un espace vectoriel euclidien de dimension $n$ non nulle.
1. Soit $p$ un projecteur orthogonal de $E$.
    Montrer que $p$ est symétrique.
2. Soit $p$ et $q$ projecteurs orthogonaux. Montrer que $p\circ q\circ p$ est symétrique.
3. Montrer que $(\operatorname{Im}p+\operatorname{Ker}q)^\perp=\operatorname{Im}q \cap \operatorname{Ker}p.$
4. En déduire que $p\circ q$ est diagonalisable et que ses valeurs propres sont dans $[0,1]$.

$\boxed{\textbf{ Exercice 2 }\vphantom{f}}\vphantom{\displaystyle\int}$ (sans préparation)
On définit pour $n\in\mathbb N$ et $x\in\mathbb R,\ u_n(x)=\ln(1+\mathrm e^{-nx})$ et $f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}u_n(x)$ lorsque cela est défini.
1. Domaine de définition de $f$, continuité sur cet intervalle.
    Montrer que $f$ est strictement décroissante.
2. Limite de $f$ en $+\infty$.
3. Équivalent de $f$ en $0$.
4. Je ne rappelle plus (non traitée)

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
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