Énoncé(s) donné(s)
$\boxed{\textbf{ Exercice 1 }\vphantom{f}}\vphantom{\displaystyle\int}$
$A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ et vérifie $A^3 = A^2-A$.
Montrer que $\operatorname{rg}(A)$ est pair.
$\boxed{\textbf{ Exercice 2 }\vphantom{f}}\vphantom{\displaystyle\int}$
On considère la série $\sum_{n\geqslant0} u_n$ à termes positifs et $\sum_{n\geqslant0} v_n$ avec $v_n$ définit par :
$\forall n \in \mathbb{N},\, v_n = \frac{1}{1+n^2u_n}$
1) Dans cette question uniquement, $u_n \sim \ \frac{1}{n^\alpha}$ quand $n\rightarrow +\infty$, $\alpha \in \mathbb{R}$. Nature de $\sum_{n\geqslant0} v_n$.
2) On suppose que les séries $\sum_{n\geqslant0} u_n$ et $\sum_{n\geqslant0} v_n$ convergent. Montrer que $\sum_{n\geqslant0} \sqrt{u_nv_n}$ converge.
3) Montrer que si $\sum_{n\geqslant0} u_n$ converge, $\sum_{n\geqslant0} v_n$ diverge.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuveExercice 1
Montrer que pour une matrice $M$ à coefficients réels, si $\lambda \in \operatorname{Sp}(M)$, alors $\overline{\lambda} \in \operatorname{Sp}(M)$.
Lien entre les zéros d'un polynôme annulateur et le spectre de la matrice.
Exercice 2
3) Penser au raisonnement par l'absurde.
Commentaires divers
Examinatrice qui aidait quand il le fallait ce qui permettait d'avancer progressivement et d'avoir un échange et un dialogue fructueux.
04/07/2019 à 09:24
04/07/2019 à 13:50
06/07/2019 à 15:17
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06/07/2019 à 18:46
26/01/2021 à 01:30