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Epreuve Orale 5139

Informations de classement de l'épreuve

Année : 2019

Filière : MP

Concours : Mines-Télécom (hors Mines-Ponts)

Matière(s) concernée(s) : Mathématiques

Type(s) de sujet(s) : Exercice

Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : Convergence de série - Rang

Détails sur l'épreuve Sources

Énoncé(s) donné(s)
$\boxed{\textbf{ Exercice 1 }\vphantom{f}}\vphantom{\displaystyle\int}$
$A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ et vérifie $A^3 = A^2-A$.
Montrer que $\operatorname{rg}(A)$ est pair.

$\boxed{\textbf{ Exercice 2 }\vphantom{f}}\vphantom{\displaystyle\int}$
On considère la série $\sum_{n\geqslant0} u_n$ à termes positifs et $\sum_{n\geqslant0} v_n$ avec $v_n$ définit par :
$\forall n \in \mathbb{N},\, v_n = \frac{1}{1+n^2u_n}$
1) Dans cette question uniquement, $u_n \sim \ \frac{1}{n^\alpha}$ quand $n\rightarrow +\infty$, $\alpha \in \mathbb{R}$. Nature de $\sum_{n\geqslant0} v_n$.
2) On suppose que les séries $\sum_{n\geqslant0} u_n$ et $\sum_{n\geqslant0} v_n$ convergent. Montrer que $\sum_{n\geqslant0} \sqrt{u_nv_n}$ converge.
3) Montrer que si $\sum_{n\geqslant0} u_n$ converge, $\sum_{n\geqslant0} v_n$ diverge.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Exercice 1
Montrer que pour une matrice $M$ à coefficients réels, si $\lambda \in \operatorname{Sp}(M)$, alors $\overline{\lambda} \in \operatorname{Sp}(M)$.
Lien entre les zéros d'un polynôme annulateur et le spectre de la matrice.

Exercice 2
3) Penser au raisonnement par l'absurde.

Commentaires divers
Examinatrice qui aidait quand il le fallait ce qui permettait d'avancer progressivement et d'avoir un échange et un dialogue fructueux.

Commentaires

audorisca
04/07/2019 à 09:24
Hello, pour l'exo 2, question 2,faut pas montrer plutôt que ça converge ? Genre on a sqrt(unvn) <=(sqrt(un) ^2+sqrt(vn)^2)*1/2 donc pour moi la série va converger.. Je me trompe peut être dans le raisonnement 
Thomas63
04/07/2019 à 13:50
C'est ce que j'ai voulu faire au départ mais on peut justement démontrer que ça diverge (en exprimant sqrt(unvn) en fonction de vn). La question 3 montre justement que l'hypothèse "série des un et série des vn convergent" n'est pas possible. 
Ha7wski
06/07/2019 à 15:17
Non. Il y a une erreur dans la 2ième question, si les deux séries convergent, alors comme c'est mentionné au-dessus : sqrt(un*vn)<=1/2(un+vn) , donc si les deux deux séries convergent alors la série sqrt(un*vn) converge. A mon avis, il faut discuter par rapport à n²un si ça tend vers l'infini ou pas. Si n²un tend pas vers l'infini, alors vn ne tend pas vers 0, et donc la série ne converge pas. Si ça tend vers l'infini, alors sqrt(un*vn) est équivalent à 1/n et donc ça diverge. Donc avec Cauchy-Schwarz : les sommes partielles de vn divergent vers l'infini, donc la série de vn diverge.
C. Devulder
06/07/2019 à 17:58
Ici, voici ce qui me semble attendu : on suppose que $\sum(u_n)$ converge ainsi que $\sum(v_n)$. En particulier $v_n\to 0$ et donc $n^2u_n\to +\infty$ et $1+n^2u_n\sim n^2 u_n$
On écrit que $u_nv_n\sim \frac{u_n}{n^2u_n}=\frac{1}{n^2}$ et ainsi $\sqrt{u_nv_n}\sim \frac{1}{n}$ est le terme général d'une série divergente. 
Avec votre autre raisonnement, vous avez une contradiction. En espérant ne pas avoir fait d'erreur !
Ha7wski
06/07/2019 à 18:46
Exact !
Jocker
26/01/2021 à 01:30
1) cv ssi alpha <1
3)1/(1+n*(sigma(Uk)0<k<n-1)<1/(1+n²Un) implique 1/(1+n*L)<Vn , L=lim sigma(Un)