Epreuve Orale 5020

Informations de classement de l'épreuve
Année : 
2019
Filière : 
PSI
Concours : 
CCINP (ou CCP)
Matière(s) concernée(s) : 
Mathématiques
Type(s) de sujet(s) : 
Exercice
Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : 
Algèbre, Analyse, Suites de fonctions, Réduction
Détails sur l'épreuve
Énoncé(s) donné(s)
$\boxed{\textbf{ Exercice 1 }\vphantom{f}}\vphantom{\displaystyle\int}$
Soit $f_n(x) = x(1+n^a\mathrm e^{-nx}).$  où $a$ est un réel. 
1) Montrer que $f_n$ converge simplement sur $\mathbb R_+$, vers une fonction que l'on précisera.
2) Déterminer pour quelles valeurs de $a$ il y a convergence uniforme.
3) Déterminer $\lim\limits_{n\to +\infty}\int_0^1 x(1+ n^{\frac 12}\mathrm e^{-nx})\,\mathrm dx.$

$\boxed{\textbf{ Exercice 2 }\vphantom{f}}\vphantom{\displaystyle\int}$
Soit $u\in\mathcal L(E)$, où $E=\mathbb R^n.$ On note $A$ la matrice canoniquement associée à $u$ et $^t\!u$ désigne l'endomorphisme de matrice $^t\!A$.
On rappelle que $\left< X,Y\right>=\,^t\!XY $ pour  $X,Y\in E.$
1) Montrer que $\left< u(x),y\right> = \left < x,{} ^t\!u(y)\right >$ pour $x,y\in E.$
2) Montrer que si un sous-espace vectoriel $F$ est stable par $u$, alors son orthogonal est stable par $^t\!u.$
3) Soit $A=\left(\begin{array}{rrr}1&\hphantom{-}0&0\\-3&1&3\\3&0&-2\end{array}\right)$
   a. Calculer le polynôme caractéristique de $^t\!A.$ Montrer que $^t\!A $ et $A$ sont diagonalisables.
   b. Quels sont tous les espaces vectoriels stables par $u$ ?

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Commentaires divers
L'examinatrice a demandé de rappeler le théorème de convergence dominée. 
Qualité de ce compte-rendu
5
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