Soit $(E,\left \langle\cdot \ , \cdot\right \rangle )$ un espace euclidien de dimension $n \in \mathbb{N}^{*}$, $(e_{1},\dots,e_{n})$ une base de $E$.
On définit $f$ endomorphisme de $E$ par:
$\forall x \in E,\ f(x)= \displaystyle\sum _{i=1}^{n} \left \langle x,e_{i}\right \rangle e_{i}.$
1) Montrer que $f$ est un automorphisme symétrique.
2) Déterminer $ v \in \mathcal L(E)$ symétrique tel que $v\circ v=f^{-1}$. Est-il unique?
3) Montrer que $(v(e_{1}), \dots , v(e_{n}))$ est une base orthonormale de $E$.
4) On suppose $E=\mathbb{R}_{n}[X],\ \forall P,Q \in \mathbb{R}_{n}[X]$, $\left \langle P,Q\right \rangle= \int _{0}^{1}P(t)Q(t)\,\mathrm dt$ et on prend la base canonique de $\mathbb{R}_{n}[X]$. Expliciter $v$.
$\boxed{\textbf{ Exercice 2 }\vphantom{f}}\vphantom{\displaystyle\int}$
Soient $D=\mathbb{R} \times \mathbb{R}^{*}_{+}$ et $ \Delta = \mathbb{R}^{*}_{+} \times\mathbb{R}$.
On définit $\forall u,v \in D,\ \phi(u,v)=\left ( \frac{u^{2}+v^{2}}{2},\frac{u}{v} \right )$
1) Montrer que $\phi$ est une bijection de $D$ dans $\Delta$.
2) Montrer que $\phi$ et $\phi^{-1}$ sont $\mathcal C^{1}$.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Premier exercice question 3: écrire $e_{j}$ de deux façons pour $j \in \left \{1,\dots,n \right \}$.
Commentaires divers
Il manque une question que je n'ai pas eu le temps de traiter et dont je ne me souviens pas pour le deuxième exercice.
L'examinateur était très aimable et laissait assez de temps pour réfléchir.
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