Énoncé(s) donné(s)
On définit $\mathbb{U}_n(\mathbb{C}) = \left\{ M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}), {}^t\overline{M}M = I_n \right\}$.
1. Si $u$ et $v$ sont deux endomorphismes diagonalisables de $\mathbb{C}^n$ qui commutent, que dire de leurs espaces propres et de leur réduction ?
2. Soit $A \in \mathbb{U}_n(\mathbb{C})$ symétrique. Montrer que $A$ s'écrit $U + iV$ où $U$ et $V$ sont symétriques, réelles, et vérifient $UV = VU$, $U^2 + V^2 = I_n$. En déduire que $A$ s'écrit $e^{iS}$ où $S$ est symétrique réelle.
3. Montrer que $A \in \mathbb{U}_n(\mathbb{C})$ si et seulement si $A$ s'écrit $P e^{iS}$, où $P \in \mathcal{O}_n(\mathbb{R})$ et $S \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$. On pourra trouver une matrice symétrique adéquate pour utiliser 2.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve/
Commentaires divers
En particulier, en 2, il fallait redémontrer que la conjugaison passe à l'exponentielle de façon nette ; et reprendre la codiagonalisation montrée en 1 pour obtenir U et V codiagonalisables via une matrice orthogonale.
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