Epreuve Orale 4927

Informations de classement de l'épreuve
Année : 
2019
Filière : 
MP
Concours : 
Banque Mines-Ponts
Matière(s) concernée(s) : 
Mathématiques
Type(s) de sujet(s) : 
Exercice
Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : 
Réduction des matrices, Matrice orthogonale, Décomposition polaire, Exponentielle de matrice
Détails sur l'épreuve
Énoncé(s) donné(s)
On définit $\mathbb{U}_n(\mathbb{C}) = \left\{ M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}), {}^t\overline{M}M = I_n \right\}$. 
1. Si $u$ et $v$ sont deux endomorphismes diagonalisables de $\mathbb{C}^n$ qui commutent, que dire de leurs espaces propres et de leur réduction ? 
2. Soit $A \in \mathbb{U}_n(\mathbb{C})$ symétrique. Montrer que $A$ s'écrit $U + iV$ où $U$ et $V$ sont symétriques, réelles, et vérifient $UV = VU$, $U^2 + V^2 = I_n$. En déduire que $A$ s'écrit $e^{iS}$ où $S$ est symétrique réelle. 
3. Montrer que $A \in \mathbb{U}_n(\mathbb{C})$ si et seulement si $A$ s'écrit $P e^{iS}$, où $P \in \mathcal{O}_n(\mathbb{R})$ et $S \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$. On pourra trouver une matrice symétrique adéquate pour utiliser 2.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers
En particulier, en 2, il fallait redémontrer que la conjugaison passe à l'exponentielle de façon nette ; et reprendre la codiagonalisation montrée en 1 pour obtenir U et V codiagonalisables via une matrice orthogonale. 
Qualité de ce compte-rendu
0
Pas encore de note. Tout membre peut choisir une étoile...