Soit $P \in\mathbb{C}[X] $ non constant.
Pour $r \in \mathbb{R}^{+*}$ convenable, on pose $ I(r) = \displaystyle\int_{0}^{2\pi} \frac{P'(r\mathrm e^{it})r\mathrm e^{it}}{P(r\mathrm e^{it})}\,\mathrm dt$.
1) Montrer qu'il existe $r_{0} \in \mathbb{R}^{*+}$ tel que $I(r)$ est bien défini pour tout $r > r_{0}$.
2) Déterminer la limite de $I(r)$ pour $r \rightarrow +\infty$.
3) Soit $[a,b]\subset\mathbb{R}^{+}$ ne contenant pas de module de racines de $P$.
Sans utiliser le fait que tout polynôme de $\mathbb{C}[X] $ est scindé (objectif de la question suivante), montrer que $I$ est constant sur $[a,b]$.
4) En déduire le théorème de d'Alembert-Gauss : tout polynôme non constant à coefficients complexes est scindé.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
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