Énoncé(s) donné(s)$\boxed{\textbf{ Exercice 1 }\vphantom{f}}\vphantom{\displaystyle\int}$ (15 minutes de préparation)
Soit $A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$. On note $\overline{A}$ la matrice conjuguée de $A$. Montrer l'équivalence entre les deux propriétés :
$(1)\ A\overline{A}=I_n$
$(2)\ \exists\, S\in\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})\ / \ A=S\overline{S}^{-1}.$
On pourra, pour une des implications, prendre $w\in\mathbb{C}$ bien choisi et poser $S=wA+\overline{w}I_n$.
$\boxed{\textbf{ Exercice 2 }\vphantom{f}}\vphantom{\displaystyle\int}$ (sans préparation)
On considère $f:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}$ convexe, de classe $\mathscr C^1$ vérifiant la propriété :
$(1)\ \exists\ L\in\mathbb{R}\ /\ \forall\ x,y\in\mathbb{R}^n,\ \left||\nabla f(x)-\nabla f(y)\right||\leqslant L||x-y||$
La finalité de l'exercice était de démontrer que $f$ vérifiait une propriété $(C)$ dont je ne me rappelle plus...
Note : on peut raisonner avec $n=2$ afin de manipuler les expressions plus simplement.
- On pose $g:z\mapsto f(z)-f(x)-\left<\nabla f(x), z-x\right>$, où $\left<\cdot,\cdot\right>$ désigne le produit scalaire usuel sur $\mathbb{R}^n$. Montrer que $g$ vérifie $(1)$.
-
Montrer que $x$ est un minimum global pour $g$.
-
On pose $w=y-\dfrac{1}{L}\nabla g(y)$ et $w(t)=w + (y-w)t$. Montrer que $\displaystyle g(y) = g(w) + \int_0^1\left<\nabla g(w(t)),y-w\right>\mathrm{d}t \geqslant\dfrac{1}{2L}\left\|\nabla g(y)\right\|^2$.
-
Montrer que $f$ vérifie $(C)$.
La question 4 est incomplète, il y avait une indication il me semble.
Commentaire du modérateur (db@blaise_pascal) : la propriété (C) devait être : pour tout $t\in[0,1]$ et tous $u,v\in\mathbb{R}^n$,
$f(tu+(1-t) v)\leqslant tf(u)+(1-t) f(v)-\frac{t(1-t)}{2L}||\nabla f(u)-\nabla f(v)||^2.$
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Pour l'exercice 2:
- Réfléchir au cas réel ($n=1$) afin de calculer le produit scalaire de $\nabla f(x)$ avec $z-x$ dans le cas général (ramené à $n=2$).
-
Il suffit en fait de montrer que $g$ est convexe (en se rappelant que $f$ l'est).
Commentaires divers
Oral de mathématiques comprenant 15 minutes de préparation (avec à disposition uniquement l'exercice 1) et 1h de passage.
Les questions 3 et 4 de l'exercice 2 n'ont été que partiellement traitées.
Puisqu'il ne restait pas suffisamment de temps pour les traiter, l'examinateur m'a demandé ce que je pensait des l'expressions de $g(y)$ (il attendait que je lui dise que dans le cas réel, cela se ramenait à $\displaystyle g(y)-g(w)=\int_w^yg^\prime(t)\,\mathrm{d}t$ et qu'alors avec le gradient, on intégrait les dérivées partielles de g) et de $w(t)$ (qui est en fait un chemin de $w$ à $y$ dans $\mathbb{R}^n$) à la question 3.
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