Soient $n\in\mathbb{N}$, $n \geqslant 2$ et $A,B\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$. Prenons aussi une famille $(t_{i})_{1\leqslant i \leqslant n+1}$ de réels distincts.
($i$) $\forall$ $i\in [\![1;n+1]\!]$, $\det(A+t_{i}B)=0$.
($ii$) $\exists$ $W$ et $V$, deux sous-espaces vectoriels de $\mathbb{R}^{n}$, tels que $A(V)\subset W$ et $B(V)\subset W$, avec $\dim(W)<\dim(V)$.
(Les indications données par l'examinateur sont précédées d'une *)
Pour le sens direct:
_S'inspirer d'un espace propre de $A+t_{i}B$
_* Prendre $H=Vect((\varepsilon_{t})_{t\in\mathbb{R^{*}}})$ tel que $\forall$ $t\in\mathbb{R^{*}}, \varepsilon_{t}\in\mathcal{K}er(A+tB)$.
Montrer alors que $\exists$ $\varepsilon\in H, A\varepsilon=0_{\mathbb{R^{n}}}$
_Autre question de l'examinateur en fin d'oral: "La propriété reste-t-elle vraie pour $n$ réels distincts?
$\underline{\text{Indications pour finir l'exercice:}}$
_En supposant par l'absurde que $H$ ne contient aucun élément (autre que $0_{\mathbb{R}^n}$) inclus dans $\mathcal{K}er(A) \cup \mathcal{K}er(B)$. Montrer que $A(H)=B(H)$ puis, par analogie avec les endomorphismes ($a$ pour $A$ et $b$ pour $B$), considérer les restrictions $a_{H}:H \longrightarrow a(H)$ et $b_{H}:H\longrightarrow b(H)$.
_Après avoir remarqué que $a_{H}$ et $b_{H}$ étaient des isomorphismes, considérer $b_{H}^{-1}\circ a_{H}$ et montrer que son existence est absurde en considérant son polynôme caractéristique sur $H$.
_Conclure en considérant $V=H$ et $W=a(H)=b(H)$.
Commentaires diversExaminateur sympathique, qui m'a offert un chocolat en début d'oral pour "échauffer les neurones". Mais il semblait un peu perdu pendant l'oral, m'avouant qu'il ne s'attendait pas à ce que commence ma démonstration de la sorte.
Je me suis arrêté à la dernière question posée par l'examinateur en fin d'oral, le reste des indications a été ajouté ensuite pour finir l'exercice (qui s'avère être bien plus long que prévu, que ce soit pour l'examinateur ou pour moi-même).
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