Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)
Exercice de cours : numéro 99 de la planche (proba) note sur 8 points 

Exercice sur 12 points :
On considère pour tout $x$ dans $]0,+\infty[$, pour tout $n$ dans $\mathbb{N}$, la suite $u_n(x)=\frac{a^n}{x+n}$ avec $a$ réel tel que $\vert a\vert\leqslant 1$ et $a\neq 1$.
1. Étudier la convergence simple, uniforme et normale de la série $\sum u_n(x)$.
2. Notons $S(x)$ la somme de cette série.
a) Montrer que $S$ est continue sur $]0,+\infty[$.
b) Montrer que $S$ est $\cal C^1$ sur $]0,+\infty[$.
3. Montrer que $S(x)\underset{x\to+\infty}{\sim} \frac{1}{x(1-a)}$.