Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

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Epreuve Orale 4719

Année : 2017

Filière : MP

Concours : Mines-Télécom (hors Mines-Ponts)

Matière(s) concernée(s) : Mathématiques

Type(s) de sujet(s) : Exercice

Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : Eléments propres d'un endomorphisme - Matrice - Rang - Séries - Séries à termes positifs - Trace

Énoncé(s) donné(s)

I. Soit $(u_n)_n$ une suite décroissante de nombres réels strictement positifs tels que la série $\sum u_n$ converge.

Démontrer que la suite $(nu_n)_n$ est convergente de limite nulle.

II. Soit $P \in M_n(R)$ une matrice de projection. Considérons l'application

$$f : M_n(R) \to M_n(R), \quad M \mapsto PM+MP.$$

Démontrer que pour toute matrice $M \in M_n(R)$, on a $f^2(M) = PM + 2 PMP + MP$.
Démontrer que $f$ est diagonalisable.
Déterminer la trace de $f$ en fonction de $n$ et du rang de $P$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

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