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Epreuve Orale 4718

Informations de classement de l'épreuve

Année : 2017

Filière : MP

Concours : Mines-Télécom (hors Mines-Ponts)

Matière(s) concernée(s) : Mathématiques

Type(s) de sujet(s) : Exercice

Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : Convergence dominée - Convergence uniforme - Diagonalisabilité - Endomorphismes nilpotents

Détails sur l'épreuve Sources

Énoncé(s) donné(s)
I.
La lettre $K$ désigne le corps $R$ ou le corps $C$. Soit $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension $n \ge 1$ et $f \in {\mathcal{L}}(E)$.
  1. Supposons qu'il existe un entier naturel $k \ge 1$ tel que $f^k$ soit nulle. L'application $f$ est-elle injective ?
  2. Supposons que $f^{n-1}$ n'est pas nulle et que $f^n$ est nulle. Démontrer qu'il existe un vecteur $x_0$ non nul tel que ${\mathcal{B}} = (x_0,f(x_0),\ldots,f^{n-1}(x_0))$ soit une base de $E$.
    Déterminer la matrice de $f$ dans la base ${\mathcal{B}}$. L'endomorphisme $f$ est-il diagonalisable ?
II. Pour tout entier naturel $n$ et tout $t\in\left[0,\dfrac12\right]$, posons $f_n(t) = \dfrac{1+t^n}{\sqrt{1-t^2}}$. Déterminer $\displaystyle{\lim_{n\to+\infty}\int_0^{\frac12}f_n(t)dt}$ de deux manières :
  1. Par convergence uniforme.
  2. Avec le théorème de convergence dominée.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

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